2016年中国刑事警察学院高等数学(同等学力加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
，求以a ＋2b 与a －3b 为边的平行四边形的面积.
【答案】根据向量积的几何意义知以a ＋2b 和a －3b 为边的平行四边形的面积
2． 判断下列反常积分的收敛性：
（1）（2）（3）（4）
的瑕点，而
收敛，故
的瑕点，而
，因此
收敛，故
又由于收敛，因此
，而收敛。
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【答案】（1）x=0为被积函数敛，又由于
，而
，因此
收敛，因
收敛。 因此
收
x=2为被积函数（2）收敛，又由于
（3）
收敛。
收敛。故收敛，即绝对
（4）x=0，x=1，x=2为被积函
数
，，因此
3． 求直线
在平面
故
的瑕
点
收敛，又由于
收敛，故
收敛。
，
上的投影直线的方程.
【答案】作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.
设过直线得由得
. 代入平面束方程，得
的平面束方程为
. 因此所求投影直线的方程为
4． 设一圆锥形贮水池，深15米，口径20cm ，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？
【答案】以高度h 为积分变量，变化范围为[0, 15]，对该区间内任一小区间[h，h+dh]，体积为
，记γ为水的密度，则作功为
5． 设正项级数
和
都收敛，证明级数
收敛，故有从而
故由比较审敛法知
收敛。
也收敛。
由极限定义知，存
【答案】根据题设条件知级数在正函数N ，当n ≥N 时，有
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6． 求下列函数
（1）（2）（3）【答案】（1）
.
和： ；
；
（2）
（3）
二、证明题
7． 证明定积分性质
【答案】根据定积分的定义, 在区间[a, b]中插入n-1个点
, 任取
, 则
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,
记