2016年西北师范大学教育学院高等数学(二)(同等学力加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力。
0.6]，【答案】如图设立坐标系，取三角形顶点为原点，取积分变量为2，则z 的变化范围为[0，，因此OB 的方程为易知B 的坐标为（0.06, 0.04）
。
，故对应小区间[x，x+dr]
的面积近似值为
图
记γ为水的密度，则在x 处的水压强为
2． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a>b，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。
【答案】如图，记x 为薄板上点到进水面的长边的距离，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 6]，对应小区间[x，x+dx]，压强为
，面积为adx ，因此压力为
，故压力为
图
3． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.
【答案】设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处. 平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设，此时它受到的恢复力的大小为在时刻t ，点A 的位置为x=x（t ）恢复力的方向与位移方向相反，故有得
微
分
方
程
解
特
征
方
程
由于振动周期
从中解出
，（R 是浮筒的半径）
则故
故
即
得
，其中m 是浮筒的质量。记
4． 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.
A （3, 4, 0），B （0，4，3），C （3, 0, 0），D （0，﹣1, 0）
【答案】在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零. 比如xOy 面上的点的坐标为（为（0，
，
）.
，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，
，0），z 轴上点的坐标为（0，0，
）.
，
，0），xOz 面上的点的坐标为（
，0，
，yOz 面上的点的坐标）
在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为 （
5． 求函数
【答案】
当x=1，y=1，△x=0.15，△y=0.1时，全微分
A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.
，当x=1，y=1，△x=0.15，△y=0.1时的全微分.
6． 下列周期函数f （x ）的周期为2π, 试将f （x ）展开成傅里叶级数，如果f （x ）在的表达式为：
【答案】（1）
上
由于
是奇函数，故
因为f （x ）满足收敛定理的条件且在
内连续，故
（2）
故
用分部积分法得
F （x ）满足收敛定理的条件，而在
处不连续，故