2017年广州大学高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
求
【答案】
A 的特征值为
则
取一个解
它是A 的属于特征值为1的特征向量.
则
取一个解
它是A 的属于5的特征向量.
则
取一个解令
则
故
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属于1的特征向量设为
属于5的特征向量设为
属于-5的特征向量设为
它是A 的属于-5的特征向量.
2． 设A 是定矩阵.
【答案】因为A 为实矩阵，且
所以B 为n 阶实对称矩阵. 又对
所以
因而B 为正定矩阵.
实矩阵，E 为n 阶单位阵. 已知矩阵试证明：时，矩阵B 为正
（2）在没有给出抽象矩阵所满足的关系式时，要说明其正定常考虑使用定义（本题中，
没有满足的关系式，只是一个记号）.
3． 设二次型
试将其化为标准形，并写出所用的正交变换. 【答案】设此二次型矩阵为A ，则
计算可得当当
所以A 的特征值为
时，得线性无关的特征向量
将它们单位化，得
时，得线性无关的特征向量
令则T 为正交阵，于是作正交变换
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则所求标准形为
4． 设A 为n 阶实反对称矩阵. 证明：
且当n 为奇数时
当A 可逆时
且
也是反对称矩阵.
是根为0或纯虚数的实系数
其中为非零实数. 于是
由于当n 为奇数时至少有一个特征根0, 故
又因为
5． 设
故
也是实反对称矩阵.
②当A 可逆时，A 不能有特征根0, 故由（2）得
【答案】①因为A 为实反对称矩阵，故特征多项式多项式，其虚根必成对出现. 现设其全部根为
是欧氏空间V 的两个子空间，证明：
【答案】（1）如果有
所以
反之如果
（i=l，2）; 即得由上知
则
故，因此
则对任一都有特别地，对
或
对任一向量
所以
将表成
其中
⑵由（1）因此
6． 设A 为主对角线上元素为1, 一2, 1的三阶对角方阵，B 为三阶方阵且
求B.
【答案】由（4）得
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可逆且由得
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