2018年西北农林科技大学林学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
时
此时方程组无解.
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2． 设三阶方阵A
、B
满足
式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵
.
若
求行列
【答案】由矩阵知则. 可
逆.
又
故即
所以
即而
故
3
． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明
[!
【答案】（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形
；
且秩
的值.
即或
贝
因为A
是
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，所以必可对角化，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（
n-k
个）
. 故二次型
（Ⅱ）因为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
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4．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
二、计算题
5． 解下列矩阵方程：
⑴
（2
）
（3
）
（4
）
【答案】（1
）因矩阵边，得
的行列式=1, 不为零，故它可逆，从而用它的逆矩阵左乘方程两
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