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一、证明题

1． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

【答案】不妨设

若

取

同样，若若

有

且满足因为f (x ) 在由于

2． 设函数f 在且有

若若

综上，存在.

3． 设函数f 在

【答案】设由

得

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若

若

得证；

取

于是

有

得证；

取

若

如此继续可得闭区间套

且

故有

证明：存在点由f (x ) 在

使得

上连续可知F (x ) 在

上也连续.

处连续，故

所以

上连续，且

取满足

于是

于是由闭区间套定理知存在惟一的

【答案】作辅助函数

则取

则

使得

或即有

使

得

即

由根的存在性定理知，存

在

且

令

则

，由归结原则得

上满足方程证明,

于是

4． 设f 为定义在界.

【答案】(1) 设f 为定义在

因为f

在

任意的

得，对任意的

即

若

故

而在。有

(2) 当f 为减函数时，同理可证

5． 证明

【答案】因为续. 取

在

上一致连续，但在在闭区间

上不一致连续.

在

由

但

得

于是，无

论故

在

多么小，总存在两

点

上不一致连续.

满

足

上一致连

即

上的增函数

上有上确界. 设使得

当

令

上有上界.

在

时

.

即，

则对

为增函数. 即

存在，设为A ，

对

则对

由f 是增函数可

存在

上有上界，由确界原理可知且对任给的

有

同理，由

也可推出

上的增(减) 函数. 证明

存在的充要条件是f 在

上有上(下)

因此，

上连续，由一致连续性定理知

设是任一正数，则

二、解答题

6． 举例说明：瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

不一定收敛。

故瑕积分

故瑕积分

发散

(2) 由坐标面及平面

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收敛，但

7． 求下列均匀密度物体的质心：(1) 面体.

【答案】(1) 设物体质心为

由对称性知：

所围的四

(2) 设四面体的质心坐标为，由于物体密度均匀，且

因此

8． 求极限

【答案】先求

为此令

取对数得

而

故

再令

而

由于

则

和

所以式（1）的极限等于0, 从而原极限=1.

9． 求曲线

【答案】曲线质量为

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的质量，设其线密度为.