2017年南京信息工程大学数学与统计学院802高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算
（1）抛物线
，其中L 是：
上从点（1，1）到点又（4，2）的一极弧；
（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；
，然后再沿直线到点（4，2）的折线; （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2）（4）曲线
上从点（l , l ）到点（4, 2）的一段弧。
，y 从1变到2，则
（2）L 的方程为有
（3）记L 1为从点（1，1）到点（1，2）的有向线段，L 2为从点（1，2）到点（4，2）的有向线段。则L 1: x=l，y 从1变到2;
，x 从l 变到4。在L 1上，dx=0; 在L 2上，dy=0。于是
因此
（4）由
，可得t=0；由
可得t=1。因此
2． 大炮以仰角α，初速度v 0发射炮弹，若不计空气阻力求弹道曲线。
【答案】取炮口在原点，炮弹前进的水平方向为2轴，铅直向上为Y 轴，设在时刻t ，炮弹位于
按题意有
，即
，y 从1变到2。化为对y 的定积分计算，
【答案】（1）化为对y 的定积分。
且
解方程（1），
得
即
故弹道曲线为
代入初始条
件
解方程（2）,
得
得C 4=0，C 3=v0cos α，
即
得
代入初始条
件
3． 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?
2
【答案】设最外一圈波的半径为r=r（t ）。圆的面积S=S（t ）。在S=πr 两端分别对t 求导，
得
当t=2时，
代入上式得
4． 设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的闭区域为
，
。
（l ）设向导数的最大值为
也就是说，要在D 的边界线定攀岩起点的位置.
【答案】（l ）由梯度与方向导数的关系知，
在点
处沿梯度
方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以
小山的高度函数
为
，问f （x ，y ）在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方，试写出
的表达式.
上找出（1）中的g （x ，y ）达到最大值的点. 试确
（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，
（2）欲在D 的边界上求g （x ，y ）达到最大值的点，只需
求
达到最大值的点. 因此，作拉格朗日函数
令
又由约束条件，有
，得
式（9-14）+（9-15）
解得若若
或
。
，再由式（9-16）得
。
由于
的起点。
5． 交换下列二次积分的次序：
【答案】（1）所给的二次积分等于闭区域D 上的二重积分
，其中
，故
或
可作为攀岩
。
，则由式（9-14）得
，则由式（9-16）得
于是得到四个可能的极值点
，将D 表达式为
（图1）
则得
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