2017年上海师范大学数理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设X 为非负连续随机变量，若
（1）（2）
存在，试证明：
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利
用
得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以
也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
则
2． 设
为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为
（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为
则在给出样本
后的后验分布密度函数为
其中
和
其中验分布.
（2
）当已知时，不妨设c
服从伽玛分布
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因此，所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先
即
其中
都已知. 则给出样本后c 的后验分布密度函数
这说明
3． 设P （A ）>0，试证：
【答案】因为
所以
4． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为
【答案】
设事件设
则显然有
则由全概率公式得
把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有
类似有
所以代入（1）式得
由归纳法知结论成立.
5． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且
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证明完成.
个
下用归纳法证明.
为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，
记
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知p<0, 所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
6． 设
则
为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.
的方差一致有界, 即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
7． 设
，试证
：
服从大数定律.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为Y=In X 的可能取值范围为单调增函数，其反函数为
且
是区间
上的严格
所以Y 的密度函数为
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