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一、证明题

1． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明

：

【答案】

2． 设

则

为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.

的方差一致有界, 即存在常数c 使得

【答案】因为

所以由马尔可夫大数定律知

3． 设连续随机变量

服从大数定律. 独立同分布, 试证:

【答案】设诸而事件

从而该事件的概率为

若记诸

的分布函数为

则上式积分可化为

4． 设总体μ，则

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的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.

为样本，证明，

分别是

的无偏估计，设

分别为

是0的任一无偏估计，

的UMVUE. 【答案】大家知道：

即

将（*）式两端对H 求导，并注意到

有

这说明为证明

即

于是

从而

的UMVUE.

的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0

这表明这就证明了

由此可得到的UMVUE.

因而

5． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为

其

中明,

【答案】令

服从自由度为2的（1）, 则

为样本的次序统计量. 试证分布

的联合密度为

作变换

其雅可比（Jacobi ）行列式为

合密度我们可以知道

的联合密度为

从而

由该联

是独立同分布的随机变量, 且

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这是指数分布就证明了

6． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

的分布函数, 我们知道

,

就是

也就是

. 这

7． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

再由本节第3题知

有

独立同分布, 且

令

, 试证明:

其中（3为常

8． 在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令

证明:【答案】

服从大数定律.

为同分布随机变量序列, 其共同分布为

表

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