2017年上海师范大学数理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:(0, 1).相互独立.
【答案】设
则
所以
•由此得
和V=X/Y的联合密度为
所以
可分离变量, 即U 与V 相互独立.
证明:2P (ABC )=P(AB )
2. 设事件A ,B ,C 的概率都是1/2,且P (ABC )=+P(AC )+P(BC )-1/2.
【答案】因为
上式移项即得结论.
3. 设g (x )为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数,且E (g (X ))存在,证明:对任意的
有
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p (x )为X 的密度函数,则
4. 验证:正态总体方差(均值已知)的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体玛分布
,其密度函数为
则的后验分布为
,其中已知,
为其样本,取
的先验分布为倒伽
即
值已知)的共轭先验分布.
5. 设是来自
【答案】(反证法)假设
这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差(均
的样本,证明
为
没有无偏估计.
的无偏估计,则
由上式可知,等式的左边关于处处可导,而等式的右边在=0处不存在导数. 因此,假不成立,即
6. 设
没有无偏估计.
都是分布函数,a 和b 是两个正常数,且a+b=l.证明:
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F (x )具有分布函数的三个基本性质. (1)单调性. 因为于是
(2)有界性. 对任意的x ,有
且
(3)右连续性.
都是分布函数,故当
时,有
7. 设总体的概率函数p (x ; θ)的费希尔信息量存在,若二阶导数证明费希尔信息量
【答案】记
则
所以
另一方面,
对一切的存在,
这就证明了
其中是未
8. 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且,
(II
)设(III )证明故得X 的概率密度为
(II
)设
为样本
的观测值,则似然函数为
令故
的最大似然估计量为
解得
故
的无偏估计量。
设Z=X-Y。
为来自总体Z 的简单随机样本,求的无偏估计量。
(I )求Z 的概率密度
的最大似然估计量;
【答案】(I )由于X 与Y 相互独立,则Z=X-Y服从正态分布,且
(III
)由于
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