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2017年上海师范大学数理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研冲刺密押题

  摘要

一、证明题

1 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:(0, 1).相互独立.

【答案】设

所以

•由此得

和V=X/Y的联合密度为

所以

可分离变量, 即U 与V 相互独立.

证明:2P (ABC )=P(AB )

2. 设事件A ,B ,C 的概率都是1/2,且P (ABC )=+P(AC )+P(BC )-1/2.

【答案】因为

上式移项即得结论.

3. 设g (x )为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数,且E (g (X ))存在,证明:对任意的

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p (x )为X 的密度函数,则

4. 验证:正态总体方差(均值已知)的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

,其密度函数为

则的后验分布为

,其中已知,

为其样本,取

的先验分布为倒伽

值已知)的共轭先验分布.

5. 设是来自

【答案】(反证法)假设

这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差(均

的样本,证明

没有无偏估计.

的无偏估计,则

由上式可知,等式的左边关于处处可导,而等式的右边在=0处不存在导数. 因此,假不成立,即

6. 设

没有无偏估计.

都是分布函数,a 和b 是两个正常数,且a+b=l.证明:

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F (x )具有分布函数的三个基本性质. (1)单调性. 因为于是

(2)有界性. 对任意的x ,有

(3)右连续性.

都是分布函数,故当

时,有

7. 设总体的概率函数p (x ; θ)的费希尔信息量存在,若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

所以

另一方面,

对一切的存在,

这就证明了

其中是未

8. 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且,

(II

)设(III )证明故得X 的概率密度为

(II

)设

为样本

的观测值,则似然函数为

令故

的最大似然估计量为

解得

的无偏估计量。

设Z=X-Y。

为来自总体Z 的简单随机样本,求的无偏估计量。

(I )求Z 的概率密度

的最大似然估计量;

【答案】(I )由于X 与Y 相互独立,则Z=X-Y服从正态分布,且

(III

)由于