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一、综合题

1． 设x （n ）和y （n ）分别表示一个内插器的输入和输出序列，它们之间的关系可以表示为

试证明这个内插器是一个线性时变系统。 【答案】设

和

是两个任意的序列，a 和b 是两个任意常数。

而

由于8-1式和8-2式有相同的结果，所以这个系统是线性的。 又，将输入序列

先移位再插零，得到

而如果将x （n ）先插零，得到

再移位，得到

由于

2． 设系统由下面差分方程描述：

（1）求系统的系统函数H （z ）, 并画出极零点分布图；

（2）限定系统是因果的，写出H （z ）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h （n ）; （3）限定系统是稳定性的，写出H （z ）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h （n ）。 【答案】⑴

将上式进行Z 变换，得到

因此

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故该系统是时变的。

零点为z=0。令

求出极点：

极零点分布图如图所示。

图

（2）由于限定系统是因果的，收敛域需选包含点在内的收敛域，即

求系统的单位脉冲响应可以用两种方法，一种是令输入等于单位脉冲序列，通过解差分方程，其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应；另一种方法是求H （z ）的逆Z 变换。我们采用第二种方法。

式中

令

时，

因为

是因果序列，n<0时，

故

（3）由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即

时，c 内只有极点

只需求点的留数，

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时，c 内只有两个极点：只有一个，即

那么

最后得到

3． 已知某一模拟低通滤波器的传递函数为

：

设取样周期

并确定其3dB 截止频率

（1）用双线性变换法求对应数字滤波器的系统函数（2）用冲激不变法求出相应的数字滤波器的系统函数【答案】（1）T=l，相应的的系统函数为：

对应的

截止频率为：

（2）因为

冲激不变法可得

为：

冲激响应不变法使得DF 的（3）和数字频率

之间呈线性关系

能完全模仿AF 的. 由于映射

亦即时域逼近良好；而且模拟频率

其

截止频率

为

因为z=0是一个n 阶极点，改成求圆外极点留数，圆外极点

（3）试比较用双线性变换法和用冲激不变法设计数字滤波器的优缺点。

不是简单的代数映射，从而使所设计的DF

与模拟域频

的幅频响应产生失真，所以该方法仅适用于基本上是限带的低通或带通滤波器。 双线性变换法从根本上避免了冲激响应不变法的幅频响应混叠现象；但数字域频率率

之间 呈非线性关系，即线性相位的AF 经双线性变换后就得到非线性相位的DF , 不再保持原

有的线性相位，此外，一般要求AF 的幅频响应必须是分段常数型的，否则变换后所产生的DF 幅频响应相对于原AF 的幅频响应会有畸变。

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