2018年沈阳工业大学信息科学与工程学院809线性代数与常微分方程之常微分方程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 证明：
如果函数
则方程
【答案】
易验证
惟一且可延拓，
设过
因为
均有不等式|有界，
即成立，
考虑下列三个初值问题于整个平面上连续有界，且关于y 满足局部利普希兹条件，
的任一解均可以延拓到区间
' 满足延拓定理的推论的条件，
则过平面上任一点的解为
的解存在
显然
，
当
当时
，
时
，
由第一比较定理，得：
即对任何有限区间
的推论知
，
证. 当X 趋于区间端点时
，的解可延拓到整个区间
又由都不可能无界，由延拓定理的任意性，命题得
2． 在某一人群中推广新技术是通过其中已经掌握新技术的人进行的. 该人群的总人数为N , 在t=0时刻已经掌握新技术的人数为在任意时刻t 已经掌握新技术的人数为x （t ）（将x （t ）视为连续可微变量），其变化率与已经掌握新技术的人数和未掌握新技术的人数之积成正比，比例常数k>0, 求x （t ）.
【答案】解依题意，x （t
）的变化率
初始条件为
即这是伯努利方程，变形为
这可视为以为未知函数的一阶线性方程，
则
所以方程的通解为
由初始条件
得
故所求函数为
3．
何为微分方程的通解？
的解称为n
【答案】把含有n
个相互独立的任意常数
阶方程
4．
求下列方程组的通解.
的平衡点和轨线，
并验证是方程组的通解.
【答案】相空间为xOy 所在平面，二维平面系统的相空间常称为相平面.
显然，x=0, y=0是方程组的奇点或平衡点，记为（0, 0）, 它是相平面上的一个点.
两个方程相比消去变量t
，
点）的同心圆.
验证方程组的通解为
首先将其代入方程组两端，易验证是方程组的解. 下面验证它是通解，即就是要验证这两个
函数关于常数独立，为此，求其雅可比矩阵
：解之得系统的轨线为是一族围绕原点（奇
显然，
对任意常数雅可比矩阵的秩都等于2, 即满秩矩阵，即函数独立，则
是方程组的通解.
注意到，如果消去通解中的变量t 就得到方程组的轨线.
5．
求微分方程的直线积分曲线.
代入原方程得
【答案】设直线积分曲线为y=ax+b,
则
即
所以
可得a=b=0或a=b=l.
因而所求直线积分曲线为y=0或y=x+l.
6． 求满足下列关系式的函数y （x ）.
（1
）
（2
）
【答案】（1）给方程两端关于x
求导得
则求解积分方程
就等价于求解初值问题
解上面微分方程得其通解为
即
满足初始条件的解为
（2）给方程两端关于x
求导得
对上方程两端关于x
再求导得
这样，
求解原积分方程
就等价于求解初值问题