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一、证明题

1． 已知平面区域

(1) (2)

【答案】(1) 方法一由于

所以欲证的等式成立. 方法二由格林公式，有

因为D 关于直线y=x对称，所以左边=右边. (2) 方法一由(1) ，利用平均值不等式得

方法二由(1) 得

L 为D 的正向边界. 试证：

2． 证明下列结论：

(1) 设函数列收敛，则

(2)

设散，则

中的每一项

b]上的单调函数. 若都是[a，

都绝对

在[a，b]上绝对收敛且一致收敛；

都在[a，b]上连续，

级数

在[a，b]上非一致收敛.

都收敛.

则由

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在[a，b]上处处收敛，而在x=b处发

【答案】(1) 由已知令单调，所以

知收敛. 由在[a，b]上

由M 判别法知级数(2) 假设及

由于

有

在[a，b]上绝对收敛且一致收敛.

存在正整数N ，当n>N时，对任意正整数p

在[a，b]上一致收敛，则

都在[a，b]上连续，令

对上式取极限得

对任意正整数p 都成立，由柯西收敛准则知致收敛.

收敛，矛盾. 故

在[a，b]上非一

二、解答题

3． 求下列不定式极限：

【答案】 （1）

因为

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所以

因为

所以

因为

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、