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一、证明题

1． 证明:若函数f （x , y ）在有界闭区域D 上可积, 则f （x , y ）在D 上有界.

【答案】假设f 在D 上可积, 但在D 上无界, 那么, 对D 的任一分割个小区域上

无界. 当

时, 任取

, 令

由于f 在上无界, 从而存在从而

另一方面, 由f 在D 上可积知:存在当

时, T 的任一积分和

, 对任一D 的分割都满足

这与①式矛盾, 因此f 在D 上有界. 2． 己知

为发散的正项级数，S n 为其部分和，用柯西收敛原理证明

发散.

【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数m>n>N，使得

可以先取n=N+l, 注意到

递增，所以此时有

因为则

所以原命题成立.

递增且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m ，使得

,

使得

,, 必在某

3． 设p （x ）为多项式, 为p （x ） =0的r 重实根. 证明必定是

【答案】因为为于是

的r －1重实根

的r 重实根, 所以

的r －1重实根.

,

其中q （x ）为多项式, 且

又因

4． 证明:若

【答案】由于对从而有于是 5． 设

【答案】

收敛, 且存在极限

存在,

若

,

因

, 故是

则A=0. , 设A>0,

, .

故

, 存在M , 使得当x>M时, 有也发散. 这与已知条件矛盾, 故有

发散, .

在x=0连续, 但g 在x=0不连续.

, 证明:复合函数

故

在x=0连续. 由

, 可知g 在x=0不连续.

6． 证明下列结论:

（1）设函数列对收敛, 则

（2）设散, 则

在[a, b]上非一致收敛. 【答案】（1）由已知令单调, 所以

由M 判别法知级数（2）假设及

有

中的每一项都是[a, b]上的单调函数. 若和都绝

在[a, b]上绝对收敛且一致收敛;

都在[a, b]上连续, 级数

在[a, b]上处处收敛, 而在x=b处发

和,

则由

.

都收敛.

知

收敛.

由

在[a, b]上

在[a, b]上绝对收敛且一致收敛.

在[a, b]上一致收敛, 则

, 存在正整数N , 当n>N时, 对任意正整数p

由于都在[a, b]上连续, 令对上式取极限得

在[a, b]上非一致

对任意正整数p 都成立, 由柯西收敛准则知收敛.

收敛, 矛盾. 故

二、解答题

7． 设

0, 求由平面

所界平行六面体的体积. 【答案】令

则

所以平行六面体体积

8． 在下列积分中引入新变量u , v 后, 试将它化为累次积分:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由

若其中其中

得

, , 若

则

,

若

.

D 与如图1, 图

2.

图1