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一、证明题

1． 设的点x 0处

【答案】因为

所以又

故由于如果有

使

2． 证明抛物线

【答案】

►

显然当 3． 设

, 证明:

【答案】原不等式等价于

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为开集,

且证明:

在满足

. 但是由方程f （x ） =0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g

:

.

.

可能为零也可能不为零, 故若

可微, 且有连续的偏导数, 则记

,

. 又因为D 为开集,

,

则方程f （x ）=0可以写为

.

知, 在x 0附近存在隐函数g :

在顶点处的曲率为最大.

.

由定理可知, 这时由

时

, 是单调递减的. 故当2ax+b=0时, K 取最大值.

, 即抛物线

在顶点处的曲率为最大.

由2ax+6=0得

取的凸函数. 若记

即

, 则由

, 由凸函数的性质

f x ）可知, （是上

亦即

二、解答题

4． 讨论函数项级数

【答案】当0l时

，

级数收敛.

不趋于0, 所以不一致收敛.

，即

于是，对于任意的

，x>l, 存在

，当n ＞N 时

，因此，级数一致收所以

在（0，1）和

的一致收敛性.

敛.

5． 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积:

（1）（2）（3）（4）【答案】 （1）（2）（3）

.

为心形线方程, 它在极轴之上部分的参数方程式为

于是

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, , 绕X 轴;

绕x 轴;

, 绕极轴;

, 绕y 轴.

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（4

）由 6

． 计算

, 其中S 为圆锥表面的一部分

这里为常数【答案】由于

则

7． 求极限

. . ,

得

,

则

【答案】用连续性定理来求解. 将离散变量n 改成连续变量, 即令

显然, f （x , y ）在

原极限=

8． 设

为

上的连续递增函数, 则

. 即可.

使

.

上连续, 由连续性定理, 有

【答案】只要证明由于

单调递增, 利用积分第二中值定理, 则存在

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