2018年兰州财经大学统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
2． 设随机变量X 服从上的均匀分布，在的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布，证明:
【答案】因为令
W
的逆变换为
服从参数为1的指数分布.
所以
此变换的雅可比行列式为
:
所以由此得
的联合密度函数为
的边际密度函数为
服从参数为1的指数分布.
为样本，
分别为,
分别是
的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
这表明:
3． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
由此可得到的UMVUE ,
且X 与Y 独
，因而
t
4． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
，下一步，将式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
的特征函数，由唯一性定理知
5． 记证明
【答案】
由
得
6． 设随机变量
【答案】
7． 设随机向量
证明:【答案】由
满足
知
，试证明:
所以
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