2018年兰州大学生命科学学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设
相互独立，且
试求
中
（1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率. 【答案】⑴（2）
（3）P （最多出现一个）=P（恰好出现一个）+P（都不出现）=:
2． 设随机变量X 的概率密度为. 次的观察值为
（1）求常数a 及（2）求
的联合分布.
可得
解之得
,
由题设可知
相互独立, 所以
（2）
9
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，
.
, 对X 作两次独立观察, 设两
.
；
, 令
【答案】 （1）由
于是随机变量X 的概率密度为
,
,
,
所以
的联合分布如下:
表
1
3． 设总体X 的概率密度函数为
其中（1）
（2）
为未知参数, 的矩估计量； 的最大似然估计量.
,
的样本值, 则似然函数为
当
时,
且
令
, 解得的最大似然估计值为
从而得到0的最大似然估计量为
4． 设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
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,
为取自总体X 的容量为咒的简单随机样本. 试求:
【答案】 （1）总体X 的数学期望为设
为样本均值, 令
可解得未知参数0的矩估计量为（2）设
是相应于
从而
故，由又可算得
从而
故
事实上，这里
即
更有效.
知两者均为的无偏估计.
是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.
5． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.
【答案】令
即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然
1，其中
因为每台设备的利润为
6． 设随机变量X 的密度函数为
试求
的数学期望.
, 所以每台设备的平均利润为
【答案】
7． 设随机变量X 的密度函数为
试求以下Y 的密度函数:
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