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一、计算题

1 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg , 标准差．

为0.lkg , 问5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？

【答案】记

为第i 只零件的质量, 由

得

利用林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为

这表明:5000只零件的总质量超过2510kg 的概率近似为0.0787.

2． 设随机变量

【答案】因为正态分布所以

由此得X 的3阶及4阶中心矩为

3． 在单因子方差分析中，因子A 有三个水平，每个水平各做4次重复试验. 请完成下列方差分析表，并在显著性水平

下对因子A 是否显著作出检验.

表1 方差分析表

, 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩.

的特征函数为

【答案】补充的方差分析表如下所示：

表2 方差分析表

对于给定的显著性水平

查表知

故拒绝域为

由于

4． 自由度为2的

因而认为因子A 是显著的. 此处检验的p 值为

分布的密度函数为

时，

。试求出其分布函数及分位数

当

I 时，

【答案】此分布的分布函数F （x ）为：当

所此分布的p 分位

数满足

：从中解

得

。由此

得

5． 设离散随机变量X 服从几何分布以此求E （X ）和

【答案】记

则

. 试求X 的特征函数, 并

它的前二阶导数为

由此可算得几何分布的期望和方差为

6． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率.

【答案】两个球颜色相同有两种情况：全是白球，全是黑球，所以仿抽样模型可得

7． 设离散型随机变量X 的分布列为

表

试求E （X ）和E （3X+5）. 【答案】

8． 在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率.

【答案】由题设知这个概率可由几何方法确定，记弦的中点与圆心的距离为X ，则样本空间

为

其长度为

由圆的性质知事件A 为“弦的长度大于R”

可表示为

于是所求概率为

，其长度为（如图1）

图1

9． 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）:

1050，1100，1130，1040，1250，1300, 1200，1080

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计. 【答案】样本均值样本标准差

因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0562.

10．设总体密度函数为

（1）求g （θ）=1/θ的最大似然估计； （2）求g （θ）的有效估计.

是其样本.