2018年中央财经大学统计与数学学院806概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位:h ）都服从同一指数分布，密度函数为
试求:此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则
所以至少有一个电子元件损坏的概率为
2． 设
【答案】因为
为
及
，
所以Y 的密度函数为
这是对数正态分布
，为求其数学期望，采用线性变换
可得
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是为求Y 的方差，先求
. 施行相同的线性变换，可得
=
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是
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，其中
，求的密度函数、数学期望与方差.
，且
为严格单调增函数，其反函数
的可能取值范围为
的密度函数之故.
的密度函数之故. 由此得
3． 下面列出了自1952〜2004年各届奥林匹克运动会男子10000米赛跑的冠军的成绩（时间以min 计）
表
1
（1）求Y 关于X 的线性回归方程（2）检验假设
（3）求2008年冠军成绩的预测值. 【答案】 （1）对数据作变换
；
（显著性水平
）；
①时间x 原取值改为1, 2, 3, …（即自1952年算作奥运万米的第一次记录, 其后第二次, 第三次, 以此类推）；
②把万米记录均减去20（分）来算（这样在使用经验回归方程时, 得到的时间加上20就是实际所要求的时间）, 得经整理的数据及计算如下表:
表
2
设所要求的回归函数为
则
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故经验回归方程为
（2）需在显著性水平0.05下检验假设
查表得知
今观察值
故在显著性水平a=0.05下拒绝
, 认为回归效果是显著的.
得
4． 假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区18岁〜25岁女青年身高得数据如下:甲地区抽取10名，样本均值L64m ，样本标准差0.2m ; 乙地区抽取10名，样本均值1.62m ，样本标准差0.4m. 求:
（1）两正态总体方差比的置信水平为（2）两正态总体均值差的置信水平为【答案】设由题设条件
，（1）此处由此，
的
，的置信水平为
的置信区间为
，查表得的置信区间为
（2）由（1）方差相等，此时，
查表得
. 故两正态总体均值差的置信水平为95%的置信区间为
还有另一种解法就是不对方差相等作假定，而采用近似方法求均值差的置信区间，
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为此先计算
（3）2008年相当于第15次, 即令
的置信区间； 的置信区间.
为乙地区抽取的女青年身高，
，
为甲地区抽取的女青年身高，
的置信水平为的置信区间包含1, 因此有一定理由假定两个正态总体的
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