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一、证明题

1． 设

【答案】

故 2． 设

在

上连续，证明

则

使得

则

.

在x=0连续. 由

可知g 在x=0不连续。

证明：复合函数

在

连续，但g 在

不连续.

【答案】令因

.

在[0, 1]上连续，故记

不妨设

因

在[0, 1]上连续，

故且

时，有

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在[0, 1]上一致连续，

故对上述的正数

当

因当

记时，有

则存在正整数从而当

使得当时，有

时，有

由(3) 和(7) 知，当「时，有

综上，即证得

3．

设

点

，

到集合E

的距离定义为

为开集，由

由于即表示 若

则

又

即

发散.

只要

及

便有

故

若

但

即X 为E 的聚

因而

若

则由于

或

存都

这说明X 为E 的聚点，所以不论

证明：(1) 若E

是闭集

故使

’因而

则

(2)

若是E 连同其全体聚点所组成的集合(称为E 的闭包) . 则【答案】(1) 因为E 为闭集，所以E 的余集

现(2) —方面，在点列

有

.

即另一方面，点，因而

即

4． 求证：序列

【答案】对

使这表明

使

有

即

综合两方面，有

5． 证明下列不等式：

【答案】(1)

因为等于1或

所以由积分不等式

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在上连续，且不恒

即(2) 因为在(3) 由于在

上

，

且函数不恒等于1和所以有

上

，

所以有

(4) 设

则

得

在

上惟一的驻点为

为函数

为

在在

可验证它是极大值上的最大值，

又

上的最小值，

从而

点，而可导函数惟一的极大值必为最大值，

所以

且

由此得

故

二、解答题

6． 重排级数

【答案】注意到

使得

存在

使得

如此下去，

存在

因

及

使得

这样得到一个重排的级数

及

. 均是发散的正项级数，从而存在使它成为发散级数.

使得

存在

发散，可得此重排级数必发散.

7． 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：

求z 对于

，求

【答案】⑴令

的一阶与二阶偏导数；

则

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