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一、证明题

1． 设

【答案】由故

且满足即

求证

：

有下界，

又由则

的极限存在，并求出极限值.

存在，若

由广义极限的四则运算法则，有

由此可见

进一步由极限的四则运算法则，有

即得

2．

设级数

即与级数

都发散，

试问

与

一定发散吗？又若与

都发散时，

_两级数均发散，但

又如，(2)

当

两级数均发散，且，均非负时，

则

和P 使

而由

与

非负有

由柯西准则知

发散.

都是

F —定发散.

如即发散.

一定发散. 这是因为：

由

发散知存在收敛.

非负数，则能得出什么结论？

【答案】⑴

当

对任意自然数N ，总存在自然数

二、解答题

3． 设f (x , y , z ) 在

则⑴记

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上连续. 令

在[a，b]上连续.

【答案】分成两步来证.

因

为在有界闭区域上连续，所以一致连续. 于

是

时，有

当

对z 在[a, b]上取最小值得

由此知，

(2) 令由

在

在

其中

上连续. 则

上连续知

，

在

上连续.

在

上连

续，用与(1) 中相同的方法可证明

4． 计算第一型曲线积分

【答案】方法一写出曲线的参数方程：

因为

所以

方法二由对称性可知，只需考虑沿上半圆周

的积分，这时

所以

5． 求心形线

【答案】

的切线与切点向径之间的夹角.

由半角公式

得

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故当时

当时

6． 设求

【答案】方法一：由配方得到

其中原式

方法二：因为被积函数的定义域为

所以可设

又注意到

故有

7． 求下列函数的极值点：

【答案】(1) 解方程组

得稳定点(a ，a ) ，(0，0) ， 由于

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作变量代换则有

从而