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一、证明题

1． 试用一致连续的定义证明：若

时，有

则当

都在区间上一致连续，则

当时，有

故

2． 证明级数

收敛，并且其和小于1.

在上一致连续.

也在上一致连续. 存在

时，有

使得当

取

【答案】因为f , g

在区间上一致连续，

所以对任给的

【答案】由微分中值定理，有

从而又

所以级数

3． 证明：

(1) 若为凸函数，为非负实数，则为凸函数； (2) 若

均为凸函数，则

为凸函数；

上凸增函数，则

为Ⅰ上凸函数。

和任意

(3) 若为区间Ⅰ上凸函数，g 为总有

两边同乘非负实数得到

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收敛，并且其和小于1.

【答案】(1) 设为定义在区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意

即

故

为凸函数.

均为区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意

两式相加得到

即

故

为凸函数.

有

因为g 为

上的增函数，所以

又因为g 为凸函数，所以

由这两个式子可得

故

为I 上的凸函数.

(3) 由凸函数的定义知，对于任意

和任意

总有

(2)

设

二、解答题

4． 设f 在[a，b]上可积，且

【答案】设

且

任给，由

于

时，有

由于f （x ）在[a, b]上可积，对上述正数和由可积第三充要条件知，存在某一分割T ，使得在T 所属的小区间中，知，在T 的小区

间

于是

的长至多为

5． 求定积分

【答案】作变量替换

则

则

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试问

在

在[a，b]上是否可积？为什么？

存

在

当

在[a, b]上是可积的. 事实上，由于f （x ）在[a，b]上可积. 从而有界，

上一致连续，因此对上

述

的所有小区间

即

的总长:而在其余小区间

由式（*）

知

另一方面，至多在

在[a，b]上可积。

由以上可

注

意

，而这些小区间

故由可积的第三充要条件知

原积分

原积分

6． 求下列曲线在第一象限围成的图像的面积，

【答案】设区域

那么在变换

下，区域

波 对应地映为

此时有

于是有

因此，所求面积为

7． 讨论广义重积分

的敛散性，其中

【答案】因为被积函数恒正，故可取趋于D. 记

作变换：

则

显然当 8．

设

(2) 设

并求势函数。

【答案】

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当积分收敛时，求积分的值.

显然当

时

，

时，积分收敛，且积分值为

(1)

计算求

其中为螺旋线

(3) 问在什么条件下A 为有势场，