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一、证明题

1． 设函数

具有连续的n 阶偏导数，试证：函数

【答案】应用数学归纳法证明.

当且

设

成立，则

所以，对一切的n ，

2． 证明：若函数，在光滑曲线L

:

. 其中

为的弧长.

存在，且

又因f 在L 上连续，L 为光滑曲线，所以值定理知：

使

令

显然

所以

在

上连续，由积分中

上连续，则存在点

...

使得

时，

的n 阶导数

【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续，从而曲线积为

3． 证明：

若

【答案】

在

上可导，

且

对

有，

则

由于

有

已知因为

在点

故当左连续，所以

时有

即

从而

在

上连续，从而

在

上有界，B 卩

有

于是

4． 试用有限覆盖定理证明聚点定理。

【答案】设S 是实轴上的一个有界无限点集，

并且

都不是S 的聚点，

于是存在正数

是

盖，设为

使得

假设S 没有聚点，

则任意

中只含有S 中有穷多个点.

而开区间集

的一个有限覆

中

的一个开覆盖. 由有限覆盖定理知，

存在

它们也是S 的一个覆盖. 因为每一个

只含有S 中有穷多个点，故S 是一个有限点集. 这与题设矛盾. 故实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。

5． 设f ，g 为D 上的非负有界函数. 证明：

(1

) (2

)

【答案】(1) 对任意

于是

所以

(2) 对任意

于是

所以

6． 证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.

【答案】设有一个奇次方程为则

由得

于是

知，

存在正数

使得

由

知，存在负数：

使

异号. 由根的存在定理知，

内至少有一个根.

其中

设

令

故任一实系数奇次方程至少有一个实根.

二、解答题

7． 重积分

其中是由曲面

与

平面上的圆

所围成的区域.

(见图) :

【答案】先画出区域的图形，并求出两曲面的交线为

图

由对称性知

8． 求下列函数的导数：

（1）