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一、计算题

1． 写出以下正态分布的均值和标准差

.

【答案】对

有

所以对

有

所以对

的均值有

所以

的均值

标准差

标准差

的均值

，标准差

2． 某血库急需AB 型血，要从身体合格的献血者中获得. 根据经验，每百名身体合格的献血者中只有2名是AB 型血的.

（1）求在20名身体合格的献血者中至少有一人是AB 型血的概率； （2）若要以则

（1）所求概率为

（2）由题意知

的把握至少获得一份AB

的把握至少能获得一份AB 型血，需要多少位身体合格的献血者？

为“第i 名献血者是AB 型血”，

【答案】设共有n 位身体合格的献血者，记事件

由此解得型血.

，所以取n=149时，可保证以

3． 设离散随机变量X 服从几何分布并以此求

和

则

【答案】记

试求X 的特征函数，

它的前二阶导数为

由此可算得几何分布的期望和方差为

4． 设

是来自

的样本，问n 多大时才能使得因而

所以

这给出

即n 至少为62时，上述概率不等式成

成立？

【答案】样本均值

立.

5． 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他共作了10次预测，报对8次.

（1）在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ （2）对什么样的显著性水平，可相信他具有这种能力？

【答案】我们先对问题作一简单分析:若该人有预测能力，则他预测正确的概率应该大于1/2, 若他没有预测的能力，则他胡乱猜测也有数，则

，要检验的一对假设为

若拒绝原假设，则可相信该人有预报能力，否则不能相信他有预报能力，由于检验拒绝域形如

，故检验的p 值为

对此p 值作一些讨论:

（1）由于检验的p 值大于显著性水平

，故应不拒绝原假设，

猜对的可能，现以X 表示他预测10次预测正确的次

不能相信他具有预报未来股市的涨跌的能力，在不拒绝原假设时可能犯第二类错误， 犯第二类错误的概率如

，则

类似可算得

可见随着的増加，犯第二类错误的概率在变小. （2）我们知道，当譬如，若取

时应拒绝原假设，因此，当

时拒绝原假设，

，因为

，则拒绝原假设，可相信他有这种能力.

.

，对具体可算出

的值，

6． 请叙述下列事件的对立事件:

（1）A=“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B=“射击三次，皆命中目标”； （3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品 【答案】（1）=“掷两枚硬币，至少有一反面 （2）（3）

=“射击三次，至少有一次不命中目标 =“加工四个零件，全为不合格品

7． 下面列出了自1952〜2004年各届奥林匹克运动会男子10000米赛跑的冠军的成绩（时间以min 计）

表

1

（1）求Y 关于X 的线性回归方程（2）检验假设

（3）求2008年冠军成绩的预测值. 【答案】 （1）对数据作变换

；

（显著性水平

）；

①时间x 原取值改为1, 2, 3, …（即自1952年算作奥运万米的第一次记录, 其后第二次, 第三次, 以此类推）；

②把万米记录均减去20（分）来算（这样在使用经验回归方程时, 得到的时间加上20就是实际所要求的时间）, 得经整理的数据及计算如下表:

表2