2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研导师圈点必考题汇编
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2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研导师圈点必考题汇编（一） ... 2 2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研导师圈点必考题汇编（二） . 10 2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研导师圈点必考题汇编（三） . 20 2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研导师圈点必考题汇编（四） . 27 2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研导师圈点必考题汇编（五） . 33
一、证明题
1． 设函数项级数在D 上一致收敛于
【答案】不妨设存在
对任意
在D 上一致收敛于
对任意
有
均有
因
在D 上一致收敛于
从而，对任意
所以
2． 设a>0，b>0, 证明
：
【答案】构造函数
展开可以证明，
所以又因为
所以原命题成立.
3． 证明：(1) 设在
(2) 设在【答案】(1) 设因为(2) 把函数
上可导，若上n 阶可导，若
和
都存在，则都存在，则
由拉格朗日中值定理得
都存在且相等，
所以有
在点x 处展开为
故
阶泰勒公式得
递增.
在D 上一致收敛于
故
函数
在D 上有界，证明级数
存在N>0, 当n>N时，对任意
其中
线段方程组的系数矩阵为A ，则
把
看作未知数，解上述线性方程组. 设这个
由范德蒙行列式的求值公式知
，
的线性组合. 由存在(其
中
根据(1) 的结论，
由
4． 设
定义在闭矩形域
固定的
上，若f 对y 在为y 的连续函数，
故对
又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述
且
现取
便有
只要
且
时，总有
因此，f 在S 上连续.
也存在
对满足
的任何y ，
只要
上处处连续，对x 在
当
上(且且
于是
，
存在可得
于
是
存
在
的存在性可
知
可以表示
为
关于y 为一致连续，证明f 在S 上处处连续.
【答案】
设
时，有
二、解答题
5． 验证下列线积分与路径无关，并计算其值：
其中
【答案】(1) 因
所以所给路曲线积分与路径无关，从而
在球面上。
(2) 因
所以所给曲线积分与路径无关，且
由于
和
在球面上，所以原式=0
6． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积。
图
【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到
7． 求下列周期函数的傅里叶级数展开式：
【答案】(1) f (x ) 是周期为的周期函数
如图所示
.
图
因f (x ) 按段光滑，故可以展为傅里叶级数，又f (x ) 为偶函数，故