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一、分析计算题

1． 设矩阵

的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.

【答案】计算可得A 的特征多项式为

若解得当

是特征方程的二重根, 则有

时, A 的特征值为

的秩为1, 故

对应的线性无关特

征向量有两个, 从而A 可相似对角化.

若当

不是特征方程的二重根, 则时, A 的特征值为2, 4, 4, 矩阵

为完全平方, 从而

的秩为2, 故

解得

对应的线性无

关的特征向量只有一个, 从而A 不可相似对角化.

2． （1）设n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式及最小多项式, 问A 与B 是否相似? 若是, 则给予证明; 若不是, 则举出反例.

（2）

设

这里

分别表示A , B 的属于的特征子空间.

【答案】 （1） A 与B 不一定相似.

事实上, A 与B 特征多项式相同, 说明它们各自不变因子的乘积相同, 而最小多项式相同, 仅说明它们的最后一个不变因子相同.

如:

都只有一个特征

值

证明A 与B 相似的充要条件

是

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虽满足特征多项式都是形, 故不相似

.

（2

）由于

最小多项式都是

但A 与B

是两个不同的若当标准

所以

又当A 、B 都只有一个特征值

时. 其若当标准形.

与

只能是如下三种情形之

而

3． 设实数域上矩阵

且

等

价

于

所

以

的充要条件是A

与B 有相同的若当标准形,

即A 与B 相似.

（1）判定A 是否为正定阵, 要求写出理由.

（2）设

V 是实数域上的

3维线性空间, V 上的一个双线性函数

下的度量矩阵为

A ,

证明

:

氏空间的一个标准正交基.

【答案】 （1

）实对称阵A

的三个顺序主子式为

为正定阵. （2）任取

是V 的内积.

令

, 那么

在

V

的一个基

是

V 的一个内积

; 并且求出v 对于这个内积所成的欧

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令

且

使

其中

令

则事实上, 设 4．

就是V 的一个标准正交基.

在

下矩阵B , 则有

设

设把D 的第j 行换

为

得

证明:

【答案】证法1（作加边行列式），因为