2017年吉林师范大学数学学院829数学分析二[专业学位]考研导师圈点必考题汇编
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一、证明题
1． 证明下列命题：
(1) 若
在
上连续増，
则(2) 若
为在
上的增函数。
上连续，且
则
为
【答案】(1) 由
在
上连续及洛必达法则，得
因此F (x )
在
点右连续，
从而
在
上连续，又当
时，
根据积分中值定理，存在
使
所以
由故
在为
上单调增，得上的増函数。
因此
在
内可微，且
由而
知，函数故
为
在
上非负，且不恒为零，所以内的严格增函数. 因
从
从而当
时，
上的严格增函数，
如果要使
在
上为严格増，
试问应补充定义
(2) 由题设，可得
所以补充
使函数
成为
上的连续函数，再由
可得
在上严格增。
2． 证明：若f 在点连续，则是否必连续？
【答案】因为f (x ) 在
点
(1) 由不等式故(2)
由(3)
当
即
也在点连续. 又问：若
存
在
在I 上连续，那么f 在I 上
使得
当
时
连续，所以对任给
的知，由在点连续.
在点
连续. 财，
而|f|
在连续，故
在上连续时，f 在上不一定连续. 例如
在R 上处处不连续.
则与为
常值函数，在R 上处处连续，但
3． 设f (x ) 在[0, 2]上二次可微，且
证明：【答案】
4． 证明：闭区间
设
不妨设
的全体聚点的集合是
则
本身。
【答案】设[a，b]的全体聚点的集合是M 。
由实数集的稠密性知，集合的一个聚点。
设
不妨设
则
故x 0的任意邻域内都含有设
故综上所述，
令
即闭区间
的全体聚点的集合是
中有无穷多个实数，故a 是b 也是的一个聚点. 同理，
中的无穷多个点，故x 0为
则
的一个聚点. 总之
即本身。
不
是
的聚点，
即
二、解答题
5． 作函数导法，得
由
可知
为垂直渐近线. 又因为
所以有斜渐近线
根据表渐近线，画出函数图形如图所示.
表
的图形.
由定义可求出
当
时，利用对数求
【答案】函数的定义域为
图
6． 讨论复合函数
与
，
的连续性，设
【答案】（1）因为
所以
故x=0为（2）
的可去间断点，即
在
上连续.
故
在R 上连续. 又