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一、计算题

1． 设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D 如下，求指定的转动惯量：

（1）

（2）D 由抛物线（3）D 为矩形闭区域【答案】（1）

求I y ；

与直线x=2所围成，求I x 和I y ；

求I x 和I y 。

令

，换元，则

（2）如图所示，

（3）

图

2． 己知某曲线经过点（l ，l ），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.

【答案】设（x ，y ）为曲线上的点，则曲线在该点处的切线方程为轴上的截距为

将上述方程与成

并依题意，有

可解得

3． 计算曲线积分

，其中C 是由四条直线

围成的

切线在纵

正方形的边界。

【答案】设这四条直线所围成的区域是正方形区域

记则

显然，它们在闭正方形区域D 上都连续。由格林公式得

4． 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]内转过角度θ从而转角θ是t 的函数:θ=θ（t ）。如果旋转是匀速的，那么称刻t 0的角度?

【答案】在时间间隔[t0，t 0+at]内的平均角速度

在时刻t 0的角速度

5． 当为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分

与二重积分有什么关系?

，且在上，z=0，因此

【答案】此时在xOy 面上的投影区域D xy 就是自身（但不定侧）

当取上侧时为正号，取下侧时为负号。

6． 汽车连同载重共5t , 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6 km/h, 桥的跨度为10m , 拱的矢高为0.25m （如图所示）。求汽车越过桥顶时对桥的压力。

图

【答案】设立直角坐标系如图所示, 设抛物线拱桥方程为由于抛物线过点（5, 0.25）, 代入方程得

因此

汽车越过桥顶点时对桥的压力为

为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀谏的，应假样确宁该物休存时

二、证明题