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一、计算题

1． 设在区间（0, 1）上随机地取n 个点, 求相距最远的两点间的距离的数学期望.

【答案】解法一:分别记此n

个点

（0, 1）上的均匀分布U （0, 1）. 我们的目的是求

而.

和

的密度函数分别为

又因为

所以

解法二:n 个点把区间（0, 1）分成n+1段, 它们的长度依次记为是随机取的, 所

以

因此

而相距最远的两点间的距离为

因此所求期望为

2． 设随机变量X 服从正态分布

【答案】由题设条件知

由此得

3． 设

所以

是来自帕雷托（Pareto ）分布

,

的样本（a>0已

若

.

试求

因为此n 个点

具有相同的分布, 从而有相同的数学期望.

而

则

相互独立, 且都服从区间

知）, 试给出的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

令都是

,

取

的充分统计量.

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, 由因子分解定理

,

或

4． 下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（单位：h ）的观测值

表

设两样本独立且数据所属的两正态总体方差相等，且均值至多差一个平移量. 试问能否认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长（取

）？

【答案】这个问题可归结为关于两总体的均值是否相等的检验问题. 两正态总体方差相等但仍未知，故应采用两样本t 检验. 设X 表示型号A 的计算器充电以后所能使用的时间，Y 表示型号B 的计算器充电以后所能使用的时间，则依题意，

经计算，

从而

其拒绝域为

查表知：

由于检验统计量的待检验的假设为：

取值t ＞2.5176, 故拒绝可以认为型号A 的计算器平燧使用时间明显比型号B 来得长.

5． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率.

【答案】设事件A 表示“三枚硬币中至少出现一个正面”.若用“0”表示反面，“1”表示正面，其出现是等可能的，则此题所涉及的样本空间含有八个等可能样本点：

由于事件A 含有其中7个样本点，故P （A ）=7/8.

6． 设随机变量X 的概率密度函数为

对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π/3的次数，求【答案】因为事件“观察值大于；π/3”可用而Y 的分布列为

所以

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的数学期望.

表示，从而

7． 在（0，1）上任取一点记为X ，试求

【答案】

由

解得

是开口向上的，故有

所以

8． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

求X 与Y 的相关系数.

【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差

.

最后可得X 与Y 的相关系数

因为

又因为二次函数

二、证明题

9． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

服从参数

的泊松分布

故

又由泊松分布的可加性知, 理知

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

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