2017年山西师范大学数学与计算机科学学院609数学之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到
由此可见
是
的无偏估计.
当
较大时，
拒绝原假设
是合理的.
故对
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，
当
在原假设由等式
成立下，有
可得
记
是分布的
分位数，可得
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确定. 为了确定c , 需要充分统计量
时
，
由此可
得
的分布.
或
者
利用分布的分位数可确定临界值c.
譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由
可知
时，
所以 c=21.887.
时，将拒绝原假设
从而有
在原假设
成立下，有
这
里
可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，故由中心极限定理
知
, 从而有
故由等式
可得
记
即
若n=15, 2． 设变量序列
为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.
则
由此得
倘若
服从大数定律, 则对任意的
有
于是, 当n 充分大时, 有
记
则
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认为
为标准正态分布的分位数，则有
查表得从而
, 试证:随机
【答案】
, 由此得
由的任意性,
不妨取
咱矛盾, 所以
3． 设
，试证
：
则当n 充分大时,
有不服从大数定律.
,
这与前面推出的
【答案】因为X 的密度函数为
又因为Y=In X 的可能取值范围为单调增函数，其反函数为
且
是区间
上的严格
所以Y 的密度函数为
这正是
4． 设随机变量
（1）（2）
的密度函数. 与
相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
和
则
的密度函数为
则
的密度函数为
所以
当
是相互独立的标准正态随机变量.
【答案】（1）设所以当即
时,
时,
即（2）因为以
, 所以
又因为
所
由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
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