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一、证明题

1． 设

为开集

因为

均为可微函数，证明：在处可微，所以

又

由

在

处可微，知f

在所以

这表明，

2． 证明：

(1) 若为凸函数，为非负实数，则为凸函数； (2) 若

均为凸函数，则

为凸函数；

上凸增函数，则

为Ⅰ上凸函数。

和任意

(3) 若为区间Ⅰ上凸函数，g 为总有

两边同乘非负实数得到

即

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也是可微函数，而且

【答案】对

处连续，从

而

在附近有界，

即

使

在处可微，且

由的任意性，知

在上可微，且

【答案】(1) 设为定义在区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意

故为凸函数.

均为区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意

和任意

总有

(2)

设

两式相加得到

即

故

为凸函数.

有

因为g 为

上的增函数，所以

又因为g 为凸函数，所以

由这两个式子可得

故

为I 上的凸函数.

3． 设函数f (x ) 在闭区间[a，b]上无界，证明:

(1) 存在(2) 存在

使得使得对任意的

使得

满

足

存在收敛子列(不妨仍记为本身) ，记

在

使

所

以此时的

上无界.

同样由，

(3) 由凸函数的定义知，对于任意

【答案】(1) 因为f (x ) 在闭区间[a, b]上无界，所以存在f (x ) 的无界性知，存在，

如此继续，可

得

(2) 由致密性定理知，(1) 中的数列

c 就是满足要求的点.

4． 若是[a, b]上的连续函数列，且d][a, b]，使

在[c, d]上一致有界.

在任意闭区间

【答案】用反证法. 假设

数列都有界. 试证明：存在闭区问[c，

上都非一致有界，即

使

因为函数的保号性，

又因为

在

在[a, b]上非一致有界，所以对k=l,

使得

有

使且

使由连续

上非一致有界，所以对k=2，

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由连续函数的保号性，

如此下去，可得一个闭区间列

满足

使得有

且

且

由闭区间套定理，无界，则数列

有

其中使

无界. 这与已知条件矛盾.

即数列

的某一个子列

二、解答题

5． 过点（4，0）作曲线

（1）求切线的方程；

（2）求由这条切线与该曲线及x 轴所围成的平面图形（如图所示）绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积

的切线.

图

【答案】⑴令

则

过点（4，0）作曲线

的切线，切线与x 轴交点的横坐标是

即切点的横坐标是

于是切线斜率为

（2）所求的旋转体的体积为

6． 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：

【答案】⑴

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切线方程是