2018年华东交通大学理学院706高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
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并记A 各列依次为
从而
线
由于不妨
可推得AB 的第一列知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
则A 与B （ ）.
使
得
因此A 与B 合同. 3． 若
则
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
4． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
1
所以
秩A , 则线性方程组（ ）.
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
阶方阵，且秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩
二、分析计算题
6． 举例说明断语“如果a 是
的m 重根，那么a 是
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的
重根”是不对的.
【答案】可以用反例来说明这一结论. 设
因此a 是
7． 设n 阶方阵A 满足
【答案】因为只能是1, - 1
或0. 因此存在可逆方阵P 使
由此得
于是 8． 设
（1 ）求满足
（2）对（1 ）中的任意向量【答案】（1）对矩阵
的所有向量
证明
作初等行变换，有
解之，得
其中k 为任意常数.
线性无关.
,
可逆.
证明:
可逆.
的因式, 从而无重根（可对角化）且其特征根
故A 的最小多项式是的优重根，但是a 不是
的根.
又因为再对矩阵作初等行变换，得
解之，得
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