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一、填空题

1． 设矩阵

且秩【答案】-3. 【解析】但 2． 设

则

时秩

则 k=_____.

则从而k

之秩S 与

可由

线性表示.

之秩t 的关系是_____.

，所以

或

【答案】

【解析】由已知等式可知将这些等式统统相加有所以

①

将①式两端分别减去

得

此即可由线性表示，从而两向量组等价，而等价向量组具有相同的秩，

3． 设A , B为3阶矩阵，E 是3阶单位阵，满足已知

则B=_______

【答案】【解析】

又因为

可逆. 所以

4． 设矩阵

【答案】【解析】由

E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足则________

上式两边取行列式，有

因为

所以

二、分析计算题

5． 设A 、B 、C 分别为

和

矩阵，且

证明：如果

的解，

由

则

【答案】证法1:注意到矩阵BC 的每一个列向量均为齐次线性方程组可得

又

证法2:因为

又

所以

故有

6． 己知

求（1）（2）（3）

及1

【答案】（1）对

的基与维数； 的基与维数；

的基与维数. 作初等变换, 可得

由此看出, 秩（2）类似可得（3）

只有零解. 由题设知

故有

而

而

即

所以B’的每一列均为0, 故

所以

所以且

为

的一组基.

且. 为的一组基.

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可以看出,

且

则齐次方程组①与下面齐次方程组同解

7．

计算

为

的一组基.

①

所以

已知,

构造齐次线性方程组

其中

【答案】加边得

.

8． 设T 是线性空间V 上的线性变换，Z 是V 的非零向量. 若向量组

与它们线性相关. 证明:子空间【答案】所以

线性无关，而线性表出，即

线性无关，而

是T 的不变子空间，并求在该组基下的矩阵.

线性相关，