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一、分析计算题

1． 设

（1）证:

（2）求N 的维数及一组基. 【答案】（1）显然零变换属于N , 即

又设

所以

即N 是M 的子空间.

使

其中

M

同构于矩阵空

间

, 因

为

（2）取V 的一组基, 设

则

是V 的线性变换组成的线性空间,

构成M 的子空间.

,

设令

则有

记则

因此,

即

由M 与同构知

所以

又易知

2． 设是n 维线性空间V 的线性变换, 且

【答案】由下的矩阵为

则存在

使

求出的所有不变子空间

构成V 的基, 进而此基

线性无关, 故

为N 的基, 且

一子空间

,

个. 设W 是

子空间,

故

个不变子空间. 下面证明令

两边用得则

子空间恰有上述个.

3． 计算下面的行列式：

作用得

, 如此进行下去, 得

是

子空间恰有上述

于是

则

是

的是W 的基,

等式右端第一个非零系数为. 于是

令

. 由式（1）知

再用

（1）

作用于（1）,

, , 故一

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原行列式

4． 设

子空间

【答案】证法Ⅰ 令

下证是

到

的一个同构映射:

首先

,

若

（1）

则

于是由

得

与

是欧氏空间V 的两组向量. 证明:若

则

【答案】

又得即为其次, 若

到

的单射. ,

为

到

的双射.

故

（

2）

反之, 由（2）可得（1）, 即

则显然可得