2018年北京市培养单位动物研究所803概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自泊松分布
的样本，证明
在给定
是充分统计量. 后，对任意的
有
【答案】由泊松分布性质知
该条件分布与无关，因而
2． 设
（1）
各以
是充分统计量.
的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以（2）因为
且X 与Y 相互独立，所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式
考虑到而
所以
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故有
即X 与Z 不独立.
3． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
因而结论成立.
4． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
所以
的方法知结论成立.
5． 设总体概率函数是对
的任一估计
令
人们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
，这说明
于是
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证明:当时，随机变量
则由X 的特征函
数
按分布收敛于标准正态
可
得
而正是的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛
是其样本，，证明
:
是的充分统计量，则
. 这说明，在均方误差准则下，
因而
6． 设X 为非负随机变量，a>0.
若
【答案】因为当a>0时
，
.
存在，证明:对任意的x>0,
有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
.
利用此结果计算
7． 设随机变量X
服从参数为的泊松分布，试证明
:
【答案】
由此得
8． 设
证明: （1）（2）
【答案】（1）由下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布
的密度函数p （x ）的对数是
由此得
的费希尔信息量
从而
的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
是
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R
是来自正态总体
的一个样本，若均值已知，
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
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