2018年哈尔滨商业大学生命科学与环境科学研究中心601自命题理学数学之工程数学-线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即 2．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
得
故
知
故
【答案】
由题意知
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
3．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
4． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
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故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵（
0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，
进一步
矩阵
B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B
一定可以对角化，
且从而可
知n 阶矩阵与
相似.
二、计算题
5．
已知
（1）能由（2）
不能由
，
故
（2）
方法二：（1）
无关）；又
，
表示.
（2）反证法：若由盾.
证明
线性表示；
线性表示.
，
知则知能由
，则知不能由
向量组向量组
能由
线性无关
线性相关. 于是
，必能由
，又己知 线性表示
； 线性表示.
（惟一地）线性
【答案】方法一：（1
）由
线性无关（整体无关则部分
线性表示，而由（1）, 可由线性相关. 于是
线性表示. 这样，也就能，此与
相矛
线性表示，从而可知
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