2018年海南大学海洋学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
2．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
知
的基础解系，
即为
的特征向量
【答案】由
于故B 的特征值为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
则P 可逆，
且
3． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
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得到
所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，
也可
不全为
当
a=0时，解出
因此，Ax=0与
Bx=0
的公共解为 4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】由解的结构知
是4阶矩阵
，其中
是齐次方程组
故秩
是
4维列向量
. 若齐次方程组Ax=0
的的基础解系.
其中t
为任意常数.
又由得
因与
可知综上可知，
有
即
故都是
的解. 由
线性无关. 由
是
得的基础解系
.
那么
二、计算题
5．
设性表示.
【答案】必要性：任给
n 维向量b , 则n 维向量组数大于向量的维数）。
又因
线性无关，可知向量b 必可由
线性表示，则知
线性无关.
是一组n 维向量，证明它们线性无关的充要条件是
：任一n 维向量都可由它线
，b 线性相关（因它所含向量个（惟一地）线性表示.
能由
充分性：设任一n 维向量能由线性表示，特别维单位坐标向量