2018年哈尔滨商业大学生命科学与环境科学研究中心601自命题理学数学之工程数学-线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有
3． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
矩阵A 满足AB=0, 其
中
故所求的方程组可取为有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
解得此方程组
将
代入得，
构
矩阵
且为可逆矩阵，
且方程组
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
4． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
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显然①与②同解
.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
有无穷多解. 易知特解为
从而②的通解
，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
二、计算题
5． 证明二次型
【答案】设
又
另一方面
，
取
并且二次型f 在处的值为
综合以上知
在
时的最大值为矩阵
A 的最大特征值
.
为A 的
n 个特征值，
则有正交变换x=Qy，使
即
为第1
个分量是1的单位坐标向量，
再令
则
6． 计算
【答案】记则原式=又
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