2018年海南大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
的秩为
2.
二次型
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
2．
设的所有矩阵.
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数.
3．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组
有无穷多解？并求其通解.
【答案】
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为
故其通解为k 为任意常
数.
4．
已知
其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
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