2018年海南大学海洋学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
是4阶矩阵，其中
, 证明
是齐次方程组
故秩
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
2．
已知通解是
.
【答案】
由解的结构知
即
时
此时方程组无解.
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
3．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量 4．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
是二重根，
故
必有两个线性无关的特征向量，于是
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
所有非零解
_
t 为任
可得a=2.
此时
于是知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
二、计算题
5．
设
【答案】
由因
它的行列式
左乘上式两边得
AB=A+2B, 求B.
故它是可逆阵. 用