2018年新疆农业大学农学院601大学数学1之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
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显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数
.
3． 设矩阵
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解
，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
求一个秩为2的方阵B.
使
【答案】
令即
取
.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为
：
方阵
B 满足题意.
令
4． 设
A 为
的解为【答案】由利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，则
由.
得
有
有惟一解知
矩阵且有唯一解. 证明
：矩阵
为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使.
所只有零
则方程组
.
即
即
可逆.
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
二、计算题
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5．
设
，
，，
线性相关.
，证明向量组线性相关.
【答案】
方法一、由定义，
知向量组
方法二、两向量组线性表示的矩阵形式为：
其中
因
由矩阵秩的性质知 6．
设向量组线性表示.
【答案】方法一、
因为向量组使
按足标从大到小考察上式中系
数
.
此足标
全为零矛盾. 这时（1）式成为
于是上述向量即满足要求.
方法二、记
. 由题设，A 的列向量组线性相关，故
线性表示.
设是A 的行阶
因
能由
梯形，
则
中一定存在不含非零首元的列
7． 用克拉默法则解下列方程组：
（1
）
，
注意到的第1列是含非零首元的，
故，设其第一个不为零的数
为
由
知
. 也
即
，
但
如若不然，
该式成为
，此与这些系数不
线性相关，由定义知，
存在不全为零的数
，
线性相关，
且
，向量组证明存在某个向量
线性相关.
，使能由
线性表示，故A
中对应的
也能由
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