2017年河北师范大学数学与信息科学学院818高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设函数f （t ）在
内有连续导数，且满足
（1）求f （t ） （2）计算【答案】（1）在令（2）令
，则
，则
则
且P 、Q 有连续一阶导，则分，即
故
2． 设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心：
（1）D 由
（2）D 是半椭圆形闭区域（3）D 是介于两个圆【答案】（1）设质心为
。
所围成；
之间的闭区域。
是某函数F （x , y ）的全微
是点
至
的任意光滑曲线。
两边同时对x 求导得
于是
故所求质心为。
必位于y 轴上，于是
。
（2）因D 关于y 轴对称，故质心
因此所求质心为
。
位于x 轴上，于是
（图）。
（3）因D 关于x 轴对称，故质心
图
故
所求质心为
3． 求函数
【答案】
当x=1，y=1，△x=0.15，△y=0.1时，全微分
。
，当x=1，y=1，△x=0.15，△y=0.1时的全微分.
4． 已知L 是第一象限中从点（0, 0）沿圆周（0, 2）的曲线段，计算曲线积分
【答案】如图所示，设圆现补充有向线段
，圆
：y 轴（y 从2到0）. 由L 与
；再沿圆周到点（2, 0）.
围成的平面区域记为D ，则
到点
由格林公式得
又
所以
图
5． （1）对
（2）设数列（3）求
，证明不等式满足。
则由
，且
证明
收敛；
【答案】（1）令