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一、证明题

1． 证明域

使得

在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是：对任意在，所以

收敛于f.

充分

性

当

上所有点时，

取所以

2． 设函数

【答案】令

定义在

上，证明它在

则

所以所以

3． 设

(2

) (4)

为有界数，记

为递增有界数列，且对任何正整数的极限，

则

于是

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存在的一个邻

上一致收敛于f. 总存在

的一个邻域而由已

知

时，

和I 的一个内闭区间[a, b]，

使得

在

上一致

在[a, b]上一致收敛于f ，因此

使

得

有

在

【答案】

必要性

上一致收敛于f. 从

而

显然，当取遍[a，b]

覆盖[a, b].由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b].不妨设

，有

则当n>N时，

在I 上内闭一致收敛于f. 上满足下述方程：

在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性，得

其中c 为常数，又

证明：

(1) 对任何正整数，

为递减有界数列，

和

收敛的充要条件是

和

(3) 设和分别是【答案】(1) 由

的定义知|

(2) 由于

因而

由于

的界，

即对一切正整数

故

设正整数h>n, h>m.则由正整数n , m 总有限得

收敛. 必要性，设于是，当n>N时

在上面两个不等式的两边分别取极限得由的任意性知

4． 证明：级数

【答案】考察

显然m 适当大时，有

从而

使

由于级数的通项趋于0, 故当

发散于

则对任意的

存在N ，使得当n>N时，

因此，

即

和

又因

即

由迫敛性定理知，

数列

的极限都存在，设

由(1) 知

两边取极

即

(3) 由单调有界原理知

为递减有界数列

，

由

知

因而

.

设正数M

为数列

可知，

对一切

故对任何的

为递増有界数列. 对任何正整数n , m ，

(4) 充分性，由(1) 和确界的定义知

二、解答题

5． 求a , b 之值，使得椭圆

【答案】椭圆的面积

包含圆

且面积最小.

欲使S 最小，必须要

先求a ，b 所满足的约束条件

求椭圆与圆相切，在切点处纵坐标y 值和斜率值应相等，即

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从式(2) 中解出构造拉格朗日函数

由

解之可得：

代入式(1) 可得：

由于实际问题存在最小值，所以这唯一的极值点必是最小值点，最小值

6． 求幂级数

【答案】由于

因此另外

因此幕级数

7． 把函数

展开成傅里叶级数，并由它推出

【答案】函数f 及其周期延拓函数的图像如图所示.

的收敛域为

及和函数为

的收敛域

的收敛域及和函数.

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