2018年天津职业技术师范大学理学院601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在
=f （1）. 证明:对任何正整数n , 存在上连续, f （0）
, 则有
, 则有
若证.
若其中
的存在定理知, 存在一点
使得
故对任何正整数n , 存在
使得
2． 设f （x ）在[a, b]上有连续的导函数, f （a ）=0, 证明:
【答案】令
, 则
由f （a ）=0可知,
于是有
全不为0, 则必存在两点, 使得
在
,
上也连续. 由根
上连续, 因而F （x ）在
中有一个为0, 设
, 则令
, 有
, 命题得
, 使得
, 命题得证.
【答案】当n=1时, 取当n>1时, 令
3． 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积为
,
其中【答案】因
为曲面S 的外法线方向余弦.
故原公式成立. 4． 若函数
. 满足恒等式
z ）则称F （x , y ，为k 次齐次函数，
试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F （x ，y , z ）为k 次齐次函数的充要条件是:
并证明:
为2次齐次函数.
令
两边对t 求导得
充分性 设令
由己知，得所以（2）因为
5． 用定义证明下列极限:
（1）（2）若
（3）对黎曼函数
有
【答案】（1）设x>0, 对
（当
因为
【答案】（1）必要性 由令t=l则有
求关于t 的偏导数得
于是仅是x , y , z 的函数，记
，
令
，
因此
所以z （x ，y ）为2次齐次函数.
' ,
则
时考虑单侧极限）.
取, 则当x>X时有
即
（2）对
,
由. , 于是有
取
（3）设限个有理数
,
使得
,
对
, 因为满足,
因而可取
的正整数q 只有有限个, 从而在[0, 1]中至多只有有
, 使得
内不含上述有限个有理数,
于是当, 从而
（当
, 1时考虑
, 则当
时, 有
, 从而有
, 故
, 则
, 当
时有
. 假设
时, 不论x 是有理数还是无理数, 都有
0的右去心邻域和1的左去心邻域）.
二、解答题
6． 设
【答案】令
即
7． 讨论广义积分
【答案】改写
当
时, 因
为
, 所以
当
即
当
时, 积
分
的收敛性与绝对收敛性. , 求f （x ）.
. 则
收敛, 由于被积函数是正值, 此收敛也是绝对收敛. 当知积分当
时
时, 因为收敛. 当
, 又当
即当P>-1时,
, 所以由狄利克雷判别法绝对收敛; 当
时, 即
时, 即当P>1时, 积分
条件收敛.
时
,
综合以上结果, 并由（1）式得:当绝对收
条件收敛; 当1
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