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一、证明题

1． 证明

【答案】取虽然满足

在

上不一致连续.

但是

因此,

2． 设函数f 在连续. 且有

若若综上, 存在

3． 证明:若函数

则对【答案】令有

于是, 对任给的

有

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在上不一致连续. 上连续, 且

. 证明:存在点. 由f （x ）在

, 使得上连续可知F （x ）在

. 上也

【答案】作辅助函数

, 则取, 则

, 使得在区间

或, 即有.

使得

, 即

. 由根的存在性定理知, 存在

.

内二阶可导, 且对

有

将

与

有

.

在点作泰勒展开,

4

． 已知反常积分

【答案】注意到

因为反常积分另外

对于固定的

阿贝尔判别法知,

5．

设f 为

【答案】令令a=0, 得

收敛且与y 无关, 所以

都单调, 且在

在[0, 1]上一致收敛.

上以p 为周期的连续周期函数, 证明对任何实数a , 恒有

, 则,

故有

从而F

（a ）=c（常数）,

在[0, 1]上关于y 一致收敛. 时, 满足

收敛, 证明含参变量反常积分

在[0, 1]上一致收敛.

, 即一致有界. 从而由

6． 证明:闭域必是闭集, 举例说明反之不真.

【答案】（1）设D 为闭域, 则有开域G 使 其中

c

为

G 的边界, 设

2

①

由

知:对任意,

使

②

这与以上结论矛盾.

其

, 则

且

中

G 为G 的余集即关于R 的补集. 由于

下证

若不然, 则存在由于

从而

因此②真, 由①知

于是当

从而存在

充分小时, •

中含有G 的点Q ,

于是

故P 0不是D 的聚点, 这就证明了:若P 0为D 的聚点,

则（2）例如

或

, 因此D 为闭集.

是闭集, 但不是闭域.

二、解答题

7． 求均匀曲面

【答案】设质心坐标为|

,

由对称性有:

的质心.

,

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其中S 为所求曲面的面积, 而

.

则

D 为S 在xOy 面投影 8．

求

【答案】

由

在又由积分

由可微性定理, 有

即

解此常微分方程可得

9． 求下列函数的导数:

（1）

（2）y=y（x ）为可导函数, （3）（4）

存在, y=f（x+y）, 求

, 求y’;

确定,

求

:

, 试用f , f 〃（X ）

;

, 求y’;

, 求y’（0）;

在 上收敛.

及

的收敛性知, 上一致收敛.

（已知

,

）.

及

的收敛性知,

,

所以质心坐标为

.

（5）y=y（x ）由关系式y=f（6）（x ）在点x 三阶可导, 且（x ）

以及（7）

表示

若f （x ）存在反函数

, 求

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及;