2018年电子科技大学数学科学学院601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设f （x ）在
（1）
上连续, 满足: 时, f （x ） >0;
. 由于f （x ）在S 上连续, 根据连续函数的性质, f （x ）
, 那么
或
2． 设函数y=f（x ）在点x 三阶可导,
且
以及
【答案】
*
3． 求f （X ）使曲线积分
【答案】设
因为积分与路径无关, 所以
即
于是得
4． 求下列极限:
（1）（2）
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（2）对任意x 和正常数c , f （cx ） =cf （x ）. 求证:存在a>0, b>0, 使得【答案】考虑有界闭集若记
,
必在S 上的x 1和x 2点分别取到它在S 上的最大值f （x 1） 和最小值f （x 2）.
, 所以
.
. 若f （x
）存在反函数
.
,
试用
表示
与路径无关, 这里
不通过y 轴.
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（
3）（4）
【答案】（1）由可得
于是
而（2）当
由迫敛性得时,
于是
,
又因为
故由迫敛性得:
（3）因为因而有（4）令
所以
于是又因
则有
于是
5． 求由抛物线
因为与
所以
所围图形的面积.
由此可知,
, 由迫敛性可得
【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为（-1, 1）和（1, 1）, 所围图形的面积为
图
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6． 设数
为[a, b]上正的递减且收敛于零的函数列, 每一个都是[a, b]上的单调函数, 则级
在[a, b]上不仅收敛, 而且一致收敛. 【答案】级数可记为由每一个
又x=a及x=b时
,
设
为收敛于零的函数列,
故
则
在[a, b] —致有界.
又对每一个
都是[a, b]上的单调函数可得
是单调的, 由狄利克雷判别法可知, 原级数在[a, b]上一致收敛, 从而也必收敛.
7． 半径为r 的球体沉入水中, 其比重与水相同. 试问将球体从水中捞出需作多少功？
【答案】如图所示, 取一水平层的微元, 对此微元需作功
图
8． 在抛物线
【答案】设
哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短.
为抛物线
上的一点, 则过该点的切线斜率为:
故点
处的法线方程为:
设法线与抛物线
的另一交点为
, 则由韦达定理可知, 两交点的距离d 满足
令由
, 得
, 则
. 故所求点的坐标为
,
9． 下列级数哪些是绝对收敛, 条件收敛或发散的:
（1）
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