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一、证明题

1． 设函数列

和【答案】使得

因当令不妨设

收敛, 存在正整数时有

,

, 对任意正整数p 都成立, 当n>N时,

, 于是

从而

2． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）设收敛区间为

满足方程满足方程

,

故

且y

可在

内任意阶可导, 所以

（2

）设

故

所以幂级数的收敛区间为

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在[a, b]上可导, 且存在M>0, 使得对任意正整数n 有

成立. 证明:如果级数

, 取正整数m 充分大, 将[a, b]m等分:

在[a, b]上收敛, 则必一致收敛.

.

在[a, b]上一致收敛.

从而幂级数

的

, 且和函

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数y 在具有任意阶导数, 由可得

所以又由得

3． 用确界原理证明有限覆盖定理.

【答案】对闭区间[a, b]的任一开覆盖H , 构造数集S 如上, 显然

S 有上界. 因为H 覆盖闭区间[a, b], 所以存在一个开区间区间覆盖,

从而

若

, 则,

使得

, 取

使得

, 取

, 使得 加进去可知

, 则[a, x]能被H

中有限个开

,

即S 非空. 由确界原理知,

存在

, 由H 覆盖[a, b]知, 存在, 且

, 这与

矛盾. 故

.

, 即[a

, b]可被H 中的有限个开区间覆盖

.

用类似的方法可以证明

, 则

能被H 中有限个开区间覆盖,

把

二、计算题

4． 验证

【答案】因为

所以

而当x=0时, 有

即

因而

即.

是

在R 上的一个原函数.

5． 判断以下结论是否成立（若成立, 说明理由; 若不成立, 举出反例）:

（1）若

（2）若而数列

是发散的.

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是|x|在上的一个原函数.

和都收敛, 则和

收敛;

收敛.

数列

和

都收敛,

则

都收敛, 且有相同极限, 则

【答案】（1）该结论不成立. 例如,

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（2）该结论成立. 设相同的极限是a ,

则对于任意

时,

当

时

当

时,

, 即以表示为

其中时,

6． 求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程:

（1）（2）

【答案】（1）1, 法线方程为

（2）

, 即

;

.

, 故切线方程为

存在正整数

令

使得当

则n 可

, 即. 法线斜率为－

故切线方程为y=1, 法线方程为x=0.

7． 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性:

（1）（2>（3）

【答案】（1）令

当2m —1>1时收敛. 当

时发散, 所以积分

在m>1时收敛,

时发散.

, D 为全平面;

.

（2）由区域的对称性和被积函数关于x 和y 的奇偶性得

由于

, 当P>1时收敛,

时发散. 所以原式当P>1, q>1时收敛, 其他情况发散.

（3）由条件知

由

也发散; 所以当

8． 设,

（1）求证:【答案】（1）令

则

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, 当时收敛, 此时原积分也收敛; 当

时积分收敛. .

;

时发散, 此时原积分

时积分发散,

（2）f （r ）是什么函数时,