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一、解答题

1． 已知实二次

型

的矩阵A ，满

足

且

其

中

（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ

）求出二次型【答案】（Ⅰ）

由由

知，B

的每一列

满足

的具体表达式.

知矩阵A

有特征值即

是属于A 的特征值

.

则

与—

j 正交，于是有

令

的线性无关特征向

显然B 的第1, 2列线性无关

，量，从而知A

有二重特征值

设

对应的特征向量为

解得

将

正交化得：

再将正交向量组

单位化得正交单位向量组：

令

（Ⅱ

）由于

则由正交变换

故

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化二次型为标准形

故二次型

2．

设二次型

（1）证明二次型f

对应的矩阵为（2

）若

【答案】（1）由题意知，

记

正交且均为单位向量，证明f

在正交变换下的标准形为

故二次型/

对应的矩阵为（2）证明：

设则

而矩阵A

的秩

故f

在正交变换下的标准形为 3． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：

是3维非零列向量，若线性无关；

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，由于

所以

为矩阵对应特征值所以

为矩阵对应特征值

所以

的特征向量；

的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；

令

（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

求

且

线性无关.

非零可知，

是A 的个

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

故

4． 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，

故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且

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