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2018年山西农业大学园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题

  摘要

一、解答题

1. 设线性方程

m

【答案】

对线性方程组的增广矩阵

试就

讨论方程组的解的悄况,备解时求出其解.

作初等行变换,如下

(1

)当

则方程组有惟一答:

(2)

则方程组有无穷多可得其一个特解

解.

此时原方程组与同解,

解得其基础解系为

为任意常数. 此时方程组无解. 时

故原方程组的通解为

(3

)当

(4

)当

2.

已知方程组量依次是

(Ⅰ)求矩阵 (Ⅱ

)求

的基础解系.

此时方程组无解.

有无穷多解,矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向

【答案】

当a=-1及a=0时,方程组均有无穷多解。 当a=-l时,

则当g=0时,

则值的特征向量.

线性相关,不合题意. 线性无关,可作为三个不同特征

(Ⅱ

3.

设三维列向量组

线性无关,

列向量组

线性无关.

和向量组

线性表示;

的基础解系,

即为

的特征向量

(Ⅰ

)证明存在非零列向量

(Ⅱ)

使得

可同时由向量组

时,

求出所有非零列向量

构成的向量组一定线性相关,故存在一组不即,

线性无关,故

不全为0

,

线性表示.

所有非零解,即可得所有非零

的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形:

即存在非零列向量

不全为0.

使得

可同时由向量组

【答案】(Ⅰ)由于4

个三维列向量全为0

的数

又向量组记

和向量组向量

使得

线性无关;

向量组

(Ⅱ)易知,

求出齐次线性方程组下面将方程组

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于是,

方程组的基础解系可选为

_意非零常数.

因此,

所有非零列向量

4

. 已知

. 求

又又

所有非零解

_

t

为任

【答案】由题意知

二、计算题

5. 设A

, B 都是n 阶矩阵,且A 可逆,证明AB 与BA 相似

.

【答案】因A 可逆,故

6. 设

0, 故

证明A 的特征值只能取1

2.

的特征值. 但是,零矩阵只有特征值

则A=1或A=2.

由定义,AB

与BA 相似.

【答案】

设A 是A

的特征值,则

7. 计算

【答案】记则原式=又