2018年山西农业大学园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求
的基础解系.
即
时
此时方程组无解.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
3．
设三维列向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
知
的基础解系，
即为
的特征向量
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
（Ⅱ）
当
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
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于是，
方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
4
． 已知
且
. 求
又又
知
即
得
故
知
故
所有非零解
_
t
为任
【答案】由题意知
二、计算题
5． 设A
, B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似
.
【答案】因A 可逆，故
6． 设
0, 故
证明A 的特征值只能取1
或
2.
是
的特征值. 但是，零矩阵只有特征值
则A=1或A=2.
由定义，AB
与BA 相似.
【答案】
设A 是A
的特征值，则
7． 计算
【答案】记则原式=又