2018年中山大学数学学院(珠海)663数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 将函数
在
上展开成余弦级数.
的连续偶函数
.
所以由收敛定理可得在
上
2． 求曲线.
【答案】切向量
所以切线方程为
或
3． 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
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【答案】将f （x ）作周期性偶延拓, 得一周期为
, x+y+z=0在（1, -2, 1）点的切线方程.
（7）（
8）又
【答案】（1）因
时, 级数
与级数
（2）因为
, 故收敛半径
R=l, 收敛区间为（﹣1
, 1）.
均发散
, 故收敛域为（﹣1,
1）.
故收敛半径R=2, 收敛区间为（﹣2, 2）.
当
时
, 级数
收敛, 故收敛域为[﹣2, 2].
（3）记
所以
收敛半径R=4.当
时
, 级数为
通项为u n , 则
故（4）因（
5）设径为
（6）设区间为
当
时, 原级数可化为
对于级数
因为
故级数当
收敛
, 又时, 原级数可化为
因级数（7）设（8）设
则
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即
则
收敛域为
时级数发散,
故收敛域为（﹣4, 4）. 故收敛半径为
:收敛域为故对任取定的
x , 有
则
,
故级数收敛半径
, 故
从而收敛
故级数的收敛半
收敛, 故时, 原级数收敛.
收敛, 而级数
则
发散, 故时原级数发散, 从而收敛域为故收敛半径
故
时, 原级
数是发散的, 从而收敛域为（﹣1, 1）.
因此级数在 4． 设
求直线
和抛物线
所围图形绕直线
所以
5． 计算线积分
【答案】如图所示
所以
, 其中
ABC 为三点
A （1, 0）, B （0, 1）, C （﹣1,
0）连成的折线.
旋转而成的旋转体体积.
时收敛,
时发散, 从而可得收敛半径R=l, 收敛区域为[﹣1, 1].
【答案】旋转体体积公式为
图
6． 求函数
【答案】首先有
令
得稳定点
. 又
从而
因为
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在内的极值.
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