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一、证明题

1． 证明：数.

【答案】

由

的凸性知

所有

即

.

故

2． 设

为上的凸函数. 是凸域，

且满足

证明：f (x ) 的海色矩阵【答案】由泰勒公式得：

根据条件

故有

上式消去并令这表明矩阵 3． 证明：若在则有

【答案】

设

即得

是半正定的. 由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的. 上可积，在

则由定积分定义，

对任给的

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为区间

上凸函数

函数为上的凸函

为上的凸函数

.

因为函数.

为

上的凸函数，所以

是半正定的.

为任一向量，当t 充分小时，点，

上严格单调且在上可积，使得对

的任何分割

及

分点的任何取法，只要就有

由

现设

在由于

时，恒有

上可积知

，

在

在上有界. 设如果

则此时

结论显然成立。

上连续，

又由于在

上可积，故有界，又由导函数的达布

使得当

及任意分点

令

，则

得从而当

的一个分

割时(此时

且

故

即

4． 设

在(0, 0) 点附近存在，且在(0, 0) 点可微，证明：

【答案】因为

在(0, 0) 点可微，所以

都存在.

下证：两个混合偏导数相等. 由于

因此

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定理知没有第一类间断点，故

在上连续. 从而一致连续，故存在

和

且

对于

上对

上的任何分割

用拉格朗日中值定理，得

在

满

足

有

且

其中

(2)

和

其中

是

时的无穷小量，

是

时的无穷小量.

将式(2) 、式(3) 两式代入式(1) 可得

令

5． 已知函数上点

则在

故有

上有二阶导数并且，

记.

的图像曲线为C ，过C

围

注意到在(0, 0) 点可微，我们有

引切线. 证明当t 变动时，由该切线与曲线C 以及直线

【答案】由题意得，切线与曲线C 以及直线

围成的平面图形面积为

成的平面图形面积可取到最小值，并求出此值.

且

所以

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